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<!DOCTYPE html>

<title>Rayleigh-Ritz-Prinzip</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Rayleigh-Ritz-Prinzip</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein <a href="Variationsprinzip" class="mw-redirect" title="Variationsprinzip">Variationsprinzip</a> zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines <a href="Eigenwertproblem" class="mw-redirect" title="Eigenwertproblem">Eigenwertproblems</a>. Es geht auf das Buch The Theory of Sound<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> von <a href="John_William_Strutt%2C_3._Baron_Rayleigh" class="mw-redirect" title="John William Strutt, 3. Baron Rayleigh">John William Strutt, 3. Baron Rayleigh</a> (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker <a href="Walter_Ritz" title="Walter Ritz">Walter Ritz</a> als mathematisches Verfahren veröffentlicht.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> ein linearer, <a href="Selbstadjungierter_Operator" title="Selbstadjungierter Operator">selbstadjungierter Operator</a> auf einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> mit Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5bf62cd1c783a4f4639dc2f081a53abb49e3df8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.797ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(H)}" loading="lazy">. Dann ist das <a href="Infimum" class="mw-redirect" title="Infimum">Infimum</a> des <a href="Spektrum_(Operatortheorie)" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37b38683b3fd9a50420aa0947bb0e2c19f29b6e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.203ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (H)}" loading="lazy"> gegeben durch<a href="#cite_note-4">[4]</a>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \inf \sigma (H)=\inf _{\psi \in D(H)\setminus \{0\}}{\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34e7b6fd725dd37f87b0c33e2efd8091f7a41f52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:30.309ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \inf \sigma (H)=\inf _{\psi \in D(H)\setminus \{0\}}{\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0523e49244fecac400e961ab87b9968cdf1fd472.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.109ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)}" loading="lazy"> ein Eigenwert, und somit insbesondere endlich, so erhält man die Ungleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce05a3112c01eb636e486dfb0ea8c4d32ce6070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.897ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit Gleichheit genau dann, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }" loading="lazy"> ein <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektor</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/411d268de7b1cf300d7481e3fe59f3b20887e0d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}}" loading="lazy"> ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als <a href="Rayleigh-Quotient" title="Rayleigh-Quotient">Rayleigh-Quotient</a> bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" loading="lazy"> mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5bf62cd1c783a4f4639dc2f081a53abb49e3df8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.797ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(H)}" loading="lazy"> kann man auch über Vektoren im <a href="Spektralsatz#Spektralsatz_für_unbeschränkte_Operatoren" title="Spektralsatz">quadratischen Formenbereich</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebb99d24e0bc984d6739f5d4f4927d3fdd496ae5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(H)}" loading="lazy"> optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Das Prinzip kommt beispielsweise bei der Berechnung von Parametern des Schwingungsverhaltens von elastischen <a href="Platte_(Technische_Mechanik)" title="Platte (Technische Mechanik)">Platten</a>, aber auch anderer elastischer Körper (wie etwa <a href="Balken" title="Balken">Balken</a>) zur Anwendung,<a href="#cite_note-5">[5]</a> wenn exakte Lösungen nicht mehr mit elementaren Rechenmethoden zu erreichen sind.

Grundgedanke ist das Gleichgewicht der potenziellen Kräfte von äußeren, eingeprägten und inneren Kräften. Diese Potenziale werden durch Verformungsgrößen ausgedrückt (z. B. <a href="Durchbiegung" title="Durchbiegung">Durchbiegung</a>). Die <a href="Spannung_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Spannung (Mechanik)">Spannungen</a> werden dabei durch <a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnungen</a> oder <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Scherungen</a> nach dem <a href="Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">Hookeschen Gesetz</a> ausgedrückt. Das Verfahren kann als Vorstufe der <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Methode</a> betrachtet werden.<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a>

In der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> besagt das Prinzip, dass für die <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {}}E_{0}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {}}E_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a2dbac7a90ad904883d518acc313836527bb9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {}}E_{0}}" loading="lazy"> des Systems im <a href="Grundzustand" title="Grundzustand">Grundzustand</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6c1c429af2a5f67ca03dabc80a872dfd9a3768b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }" loading="lazy"> (also für den diesbezüglichen <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> des <a href="Hamilton-Operator" class="mw-redirect" title="Hamilton-Operator">Hamilton-Operators</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">) und für beliebige <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktionen</a> bzw. Zustände <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" loading="lazy"> der Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adaf3a995aecabda0d614e76f3594e95042384f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle }" loading="lazy"> größer oder gleich (gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion) der Grundzustandsenergie des Systems ist:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}\leq \langle H\rangle [\psi ]\,:=\langle \psi |H|\psi \rangle ,\qquad \|\psi \|=1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25016517ac58363ef286ddd8ab448db3fb0eef15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.298ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{0}\leq \langle H\rangle [\psi ]\,:=\langle \psi |H|\psi \rangle ,\qquad \|\psi \|=1.}" loading="lazy"></dd></dl>

In der Regel ist der Hamilton-Operator dabei <a href="Halbbeschr%C3%A4nkter_Operator" class="mw-redirect" title="Halbbeschränkter Operator">nach unten beschränkt</a> und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen (nicht entarteten) Eigenwert („Grundzustand“).

Die Probe-Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen, wird ihr aber umso ähnlicher, je näher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ritz-Verfahren">Ritz-Verfahren</h2></div>

Das Ritz'sche <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsverfahren</a><a href="#cite_note-8">[8]</a> wendet das Rayleigh-Ritz-Prinzip direkt an. Dazu wird eine <a href="Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familie</a> von Testvektoren, die über einen Satz von Parametern β variiert werden, verwendet. So kann eine (nicht notwendig endliche) Menge von Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f793ce6a967e6009263497bf32bba1429c54e755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }" loading="lazy"> gewählt werden und der Testvektor als <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> dargestellt werden:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \psi _{\vec {\beta }}\rangle =\sum _{n}\beta _{n}|\psi _{n}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d12a4824126575f40623ac3183756a90f529e194.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.271ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \langle \psi _{\vec {\beta }}\rangle =\sum _{n}\beta _{n}|\psi _{n}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Oder man wählt eine Familie von Funktionen, die über einen Parameter variiert werden, wie etwa <a href="Gau%C3%9F-Kurve" class="mw-redirect" title="Gauß-Kurve">Gauß-Kurven</a> mit verschiedener Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{\beta }(x)={\frac {1}{\beta {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \exp \left[-{\frac {x^{2}}{2\beta ^{2}}}\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfdffba5c950bea293387275ef3afb4af4df6ee2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:29.408ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \psi _{\beta }(x)={\frac {1}{\beta {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \exp \left[-{\frac {x^{2}}{2\beta ^{2}}}\right]}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle H\rangle [\psi _{\beta }]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle H\rangle [\psi _{\beta }]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45075a0f4fac43b05e10a0bac48214309d7451f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.854ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle H\rangle [\psi _{\beta }]}" loading="lazy">. Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> geschehen:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \beta }}\langle H\rangle [\psi _{\beta }]=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d79a1d40b254e47cca37ad7d96364c6a8c5e4ad7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.575ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \beta }}\langle H\rangle [\psi _{\beta }]=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Löst man diese Gleichung, so erhält man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> einen Wert, für den die Grundzustandsenergie minimiert wird. Mit diesem Wert hat man eine Näherungslösung, weiß aber nicht, wie gut der Ansatz wirklich ist, weshalb man von „unkontrollierten Verfahren“ spricht. Immerhin kann man den Minimalwert als „beste Annäherung“ an die tatsächliche Grundzustandsenergie benutzen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zum_Beweis">Zum Beweis</h2></div>

Das Prinzip ist unmittelbar einsichtig, wenn man voraussetzt, dass es eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> aus Eigenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f793ce6a967e6009263497bf32bba1429c54e755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> mit zugehörigen Eigenwerten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad6b82f2a00af6c9efd4c16d4e99329605645c0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.934ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{n}}" loading="lazy"> gibt. Diese Eigenwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}\leq E_{1}\leq \cdots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}\leq E_{1}\leq \cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1da602552ef177ee935e04f6cc25c89a04af0f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.459ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}\leq E_{1}\leq \cdots }" loading="lazy"> seien geordnet, dann erhält man durch Entwicklung

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f5e5958bb6d1ab7c9641d31ff3c51967301bca7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.889ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

eines beliebigen Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" loading="lazy"> nach dieser Orthonormalbasis

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |H|\psi \rangle &=\sum _{n}\langle \psi |H|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&=\sum _{n}E_{n}\langle \psi |\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&\geq E_{0}\sum _{n}\langle \psi |\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle \,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/817d5ee06b62d5ca6f336c833709c4fd1bbd5ea0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.338ex; width:32.121ex; height:19.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |H|\psi \rangle &=\sum _{n}\langle \psi |H|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&=\sum _{n}E_{n}\langle \psi |\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&\geq E_{0}\sum _{n}\langle \psi |\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|\psi \rangle \\&=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle \,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im allgemeinen Fall eines beliebigen Spektrums kann zum Beweis ein analoges Argument gemacht werden, indem man gemäß dem <a href="Spektralsatz" title="Spektralsatz">Spektralsatz</a> die Summe durch ein Integral über die Spektralschar ersetzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erweiterungen">Erweiterungen</h2></div>

Eine Erweiterung ist der <a href="Satz_von_Courant-Fischer" title="Satz von Courant-Fischer">Satz von Courant-Fischer</a>,<a href="#cite_note-9">[9]</a> der ein Variationsprinzip für alle Eigenwerte unterhalb des <a href="Wesentliches_Spektrum" title="Wesentliches Spektrum">wesentlichen Spektrums</a> darstellt. Eine exakte Abschätzung eines Eigenwerts nach oben und unten liefert die <a href="George_Temple" title="George Temple">Temple</a>-Ungleichung.<a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hans Cycon, Richard G. Froese, <a href="Werner_Kirsch_(Mathematiker)" title="Werner Kirsch (Mathematiker)">Werner Kirsch</a>, Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987</li>

<li>Michael Reed, <a href="Barry_Simon" title="Barry Simon">Barry Simon</a>: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980</li>

<li>John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, The Theory of Sound, 1877</li>

<li>W. Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220075-4102%22&key=cql">0075-4102</a>, Band 135, 1908, S. 1–61.</li>

<li>W. Ritz: Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern. In: Annalen der Physik <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220003-3804%22&key=cql">0003-3804</a>, (4. Folge) Band 28, 1909, S. 737–786.</li>

<li>G.M. Vainikko: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Ritz method</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/ritz_method">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=Ritz+method&rft.au=G.M.+Vainikko&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </li>

<li><a href="Gerald_Teschl" title="Gerald Teschl">Gerald Teschl</a>: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/">Freie Online-Version</a>)</li>

<li><a href="Karl-Eugen_Kurrer" title="Karl-Eugen Kurrer">Karl-Eugen Kurrer</a>: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 519 ff.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> R.W.B. Stephens, Murray Campbell: <cite style="font-style:italic">Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Oxford Music Online</cite>. Oxford University Press, 2001, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1093/gmo%2F9781561592630.article.22977">10.1093/gmo/9781561592630.article.22977</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.oxfordmusiconline.com/grovemusic/view/10.1093/gmo/9781561592630.001.0001/omo-9781561592630-e-0000022977">oxfordmusiconline.com</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=Rayleigh%2C+John+William+Strutt%2C+3rd+Baron&rft.au=R.W.B.+Stephens%2C+Murray+Campbell&rft.btitle=Oxford+Music+Online&rft.date=2001&rft.doi=10.1093%2Fgmo%2F9781561592630.article.22977&rft.genre=book&rft.pub=Oxford+University+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> John William Strutt: <cite style="font-style:italic">The Theory of Sound</cite>. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-108-03220-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/cbo9781139058087">10.1017/cbo9781139058087</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139058087/type/book">cambridge.org</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.au=John+William+Strutt&rft.btitle=The+Theory+of+Sound&rft.date=2011-06-02&rft.doi=10.1017%2Fcbo9781139058087&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=9781108032209&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Walter Ritz: <cite style="font-style:italic">Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.</cite> In: <cite style="font-style:italic">Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)</cite>. Band 1909, Nr. 135, 1. Januar 1909, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220075-4102%22&key=cql">0075-4102</a>, S. 1–61, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/crll.1909.135.1">10.1515/crll.1909.135.1</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1909.135.1/html">degruyter.com</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=%C3%9Cber+eine+neue+Methode+zur+L%C3%B6sung+gewisser+Variationsprobleme+der+mathematischen+Physik.&rft.au=Walter+Ritz&rft.date=1909-01-01&rft.doi=10.1515%2Fcrll.1909.135.1&rft.genre=journal&rft.issn=0075-4102&rft.issue=135&rft.jtitle=Journal+f%C3%BCr+die+reine+und+angewandte+Mathematik+%28Crelles+Journal%29&rft.pages=1-61&rft.volume=1909" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Mathieu Lewin: <cite style="font-style:italic">Spectral Theory and Quantum Mechanics</cite>. Springer International Publishing, Cham 2024, ISBN 978-3-03166877-7, S. 64.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.au=Mathieu+Lewin&rft.btitle=Spectral+Theory+and+Quantum+Mechanics&rft.date=2024&rft.genre=book&rft.isbn=9783031668777&rft.pages=64&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich: <cite style="font-style:italic">Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Strukturdynamik</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-61767-0, S. 485–497, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-61768-7_14">10.1007/978-3-662-61768-7_14</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-61768-7_14">springer.com</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=Der+Rayleigh-Quotient+und+das+Ritz%E2%80%99sche+Verfahren&rft.au=Robert+Gasch%2C+Klaus+Knothe%2C+Robert+Liebich&rft.btitle=Strukturdynamik&rft.date=2021&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-61768-7_14&rft.genre=book&rft.isbn=9783662617670&rft.pages=485-497&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Peter Steinke: <cite style="font-style:italic">Das Verfahren von Ritz</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Finite-Elemente-Methode</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-44226-4, S. 59–78, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-07240-0_4">10.1007/978-3-662-07240-0_4</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-07240-0_4">springer.com</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=Das+Verfahren+von+Ritz&rft.au=Peter+Steinke&rft.btitle=Finite-Elemente-Methode&rft.date=2004&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-07240-0_4&rft.genre=book&rft.isbn=9783540442264&rft.pages=59-78&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Martin J. Gander, Gerhard Wanner: <cite style="font-style:italic">From Euler, Ritz, and Galerkin to Modern Computing</cite>. In: <cite style="font-style:italic">SIAM Review</cite>. Band 54, Nr. 4, 1. Januar 2012, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220036-1445%22&key=cql">0036-1445</a>, S. 627–666, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1137/100804036">10.1137/100804036</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://epubs.siam.org/doi/10.1137/100804036">siam.org</a> [abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=From+Euler%2C+Ritz%2C+and+Galerkin+to+Modern+Computing&rft.au=Martin+J.+Gander%2C+Gerhard+Wanner&rft.date=2012-01-01&rft.doi=10.1137%2F100804036&rft.genre=journal&rft.issn=0036-1445&rft.issue=4&rft.jtitle=SIAM+Review&rft.pages=627-666&rft.volume=54" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> J.K. MacDonald, Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method, Physical Review <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220031-899X%22&key=cql">0031-899X</a>, Band 43, (1933), S. 830–833.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Gerald Teschl: <cite style="font-style:italic">Mathematical Methods in Quantum Mechanics</cite>. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 119 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=7JJc1So8_2wC&pg=PA119">online</a> [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.10).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.au=Gerald+Teschl&rft.btitle=Mathematical+Methods+in+Quantum+Mechanics&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=9780821846605&rft.pages=119&rft.pub=American+Mathematical+Society" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> George Temple: <cite style="font-style:italic">The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Proc. Roy. Soc. London</cite>. Ser. A 119, 1928, S. 276–293.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.atitle=The+theory+of+Rayleigh%27s+principle+as+applied+to+continuous+systems&rft.au=George+Temple&rft.btitle=Proc.+Roy.+Soc.+London&rft.date=1928&rft.genre=book&rft.pages=276-293&rft.volume=Ser.+A+119" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Gerald Teschl: <cite style="font-style:italic">Mathematical Methods in Quantum Mechanics</cite>. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 120 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=7JJc1So8_2wC&pg=PA120">online</a> [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.13).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rayleigh-Ritz-Prinzip&rft.au=Gerald+Teschl&rft.btitle=Mathematical+Methods+in+Quantum+Mechanics&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=9780821846605&rft.pages=120&rft.pub=American+Mathematical+Society" style="display:none">

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